La eterna pregunta...

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25.2.08

Las paradojas de Zenón



Parménides, el maestro de Elea, había desestimado lo revelado por los sentidos como guía para conocer la verdad porque, aunque éstos inducen a conformar un mundo en el que existe el movimiento y la pluralidad, todo debe reducirse al Ser, que es uno, inmutable, único y eterno.

Zenón de Elea (siglo V antes de Cristo), discípulo de Parménides (hay quién cree que fue su hijo adoptivo, otros, incluso, su amante...) quiso demostrar por vía de las paradojas (o aporías) que no es posible realizar afirmaciones sobre el mundo sensible que sean consistentes (como su movimiento, su pluralidad, etc.) Zenón tratará, pues, de poner de manifiesto que la realidad aparente es internamente contradictoria, puesto que precisa tanto del ser como del no-ser para adquirir sentido, lo que conduce a un callejón sin salida cognoscitivo.

Es en esencia Zenón un defensor de las ideas de su maestro, el paladín de la unidad y la inmutabilidad del ser. Echando mano de la lógica, que posibilita la prueba de una hipótesis por "reducción al absurdo", «refuta a quienes afirman la multiplicidad», afirmando, por lo mismo, que «todo es uno».

Aunque parece ser que Zenón elaboró, para su defensa de la imposibilidad del cambio y movimiento, hasta casi medio centenar de aporías (esto es, una proposición sin salida lógica, que presenta dos afirmaciones igualmente plausibles, o dos razonamientos opuestos igual de consistentes), algunas de ellas son muy famosas, por la perplejidad que producen*. Los recogió Aristóteles, en su Física:

1) Argumento contra la pluralidad.

Zenón afirma que ni el espacio ni los objetos que éste contiene pueden ser divisibles o plurales. Si las cosas son divisibles, o bien están formadas por elementos sin extensión, divisibles hasta el infinito (en cuyo caso el objeto no tiene extensión, según el juicio del eleata), o bien por elementos con extensión, en número finito (en cuyo caso el objeto sería infinitamente grande; dado que sólo elementos finitos pueden separar otros igualmente finitos, y éstos a partir de otros también finitos, y así sucesivamente, esto conduce a un número infinito de elementos finitos separados, lo cual implica un total de dimensiones infinitas).

Este argumento, por lo tanto, nos permite comprender que si partimos de la posibilidad de la divisibilidad y pluralidad de la materia y el espacio, arribamos a una serie de conclusiones incongruentes, pues no pueden congeniar en un mismo mundo objetos infinitos con otros finitos, u objetos con tamaños infinitos y otros con ningún tamaño en absoluto. De ahí que Zenón concluya que ante esta situación contradictoria sólo quepa aceptar como real el mundo como unidad y entidad continua.

2) Parábola de Aquiles y la tortuga.

Sin duda, ésta es la paradoja más célebre de Zenón, y constituye el segundo punto del argumento del eléata contra el movimiento. En la imaginación de Zenón, Aquiles, el corredor griego más veloz, propone una competición entre él y una tortuga. Ufano y convencido de su triunfo, Aquiles permite que el animal tome una pequeña ventaja. Da inicio la carrera, y contra todo pronóstico, acontece algo extraño, según Zenón; cuando Aquiles alcanza el punto del que partía la tortuga, ésta se ha desplazado ya un ligero trecho. Por mucho que acelere Aquiles, al llegar a ese mismo lugar, la tortuga mantendrá aún cierta ventaja; aunque ésta vaya minvando a cada paso, aunque la separación tienda a cero, nunca será completamente cero, y por lo tanto, Aquiles nunca alcanzará la tortuga.

2B) La dicotomía.

Esta interesante paradoja se relaciona a su vez con la anterior. Según ella, Aquiles no sólo no atrapará jamás a la tortuga, sino que, de hecho, ¡ni siquiera se mueve! Porque, para llegar incluso al primer punto del recorrido, en el que se hallaba la tortuga al inicio de la carrera, Aquiles debe antes haber alcanzado la mitad de ese trayecto, un punto medio entre su posición anterior y la posterior. Pero, si desea hacerlo, antes debe, a su vez, haber llegado a la mitad de esa mitad, hasta lograr el punto medio dentro de aquel otro punto medio... y así sucesivamente. Como puede intuirse, esta progresión continúa indefinidamente hasta el infinito, con lo cual, según Zenón, Aquiles ni siquiera llega a empezar la carrera, al no realizar movimiento alguno.

3) La flecha.

Cuando lanzamos una flecha con un arco ésta se halla, aunque percibamos su vuelo a través del aire, en reposo. Porque una flecha debe permanecer siempre en un sitio, sea cual sea, y éste es siempre el mismo, dado que posee el mismo tamaño que la flecha. El lugar concreto en el que se halla la flecha está determinado por la flecha misma, dado que los otros lugares donde ella no está sólo se diferencian de aquel en la ausencia de dicha flecha. Ahora bien, si el lugar en el cual se halla la flecha es tan grande como ella misma, si encaja perfectamente en ella, la flecha no podrá moverse en él. Y si no se mueve en dicho espacio, entonces está quieta, en reposo. Es decir, un cuerpo en reposo ocupa un espacio que es "igual a sí mismo", algo que también sucede con un cuerpo en movimiento (una flecha, en el ejemplo), porque para cada instante llena un volumen de espacio idéntico a su propio tamaño; luego está en reposo.

4) El estadio.

Imaginemos ahora un estadio en el que disponemos un grupo de cuatro soldados en fila, que permanecen en reposo (los denominaremos XXXX) justo en el centro del estadio. De uno de los lados parte otro grupo de cuatro (YYYY) en dirección al primero, y del lado opuesto otros cuatro (ZZZZ) en dirección contraria, dispuestos a encontrarse también con XXXX. Ambas filas se desplazan a idéntica velocidad. Su situación inicial y final es la siguiente:



Lo singular de esta paradoja es que, mientras el grupo de las Ys, en su trayecto hasta situarse justo bajo los Xs, ha recorrido en relación a éstas dos posiciones, el grupo de los Zs, en relación a los Ys, ha efectuado cuatro posiciones en el mismo tiempo, hasta quedar alineados todos los tres grupos. Esto nos indica, puesto que la longitud de los grupos es idéntica, que la velocidad del cuarteto de los Zs es el doble que la del cuarteto de los Ys. Pero si, al partir ambos grupos, la velocidad de Ys y Zs era la misma, ¿cómo es posible que no lo sea, al mismo tiempo?

Hoy podemos hacer, naturalmente, algunas críticas a las aporías de Zenón*, pero en su tiempo fueron verdaderamente revolucionarias y causaron una enorme perplejidad entre los intelectuales griegos. Por ejemplo, su primera paradoja pierde fuerza al desconocer éste el concepto del vacío, concepto que sólo tomaría forma propia y desarrollada con los atomistas (posteriores, pues, a Zenón), o, también, porque el eleata no conocía que el valor de la suma de una serie de números infinitamente pequeños no es infinito, sino finito. Por lo que respecta a la aporía de la flecha, como señala Aristóteles en su Física, Zenón acepta la idea de que el tiempo está compuesto de instantes. "Si esto no se admite", afirma el estagirita, "la conclusión no valdrá" (A 28). Y en relación a la última de las aporías citadas, por fin, su coherencia se basa en la suposición de que tanto el tiempo como el espacio está constituido por elementos puntuales e indivisibles, como lo son los números, opinión que sustentaban los pitagóricos.

En todo caso, estas aporías tenían como misión básica, según ya se ha dicho, demostrar que el movimiento es imposible, así como la pluralidad y la divisibilidad en el mundo natural revelado por los sentidos. Aquellos que afirmen lo contrario están condenados a la contradicción, pues sus argumentos no son racionales, como corroboran las paradojas de Zenón. Así, éste no realiza una comprobación de las tesis de su maestro Parménides, sino que destaca, tan sólo (aunque ya es bastante...), la condición contradictoria de las que éste niega como verdaderas, arguyendo y razonando dónde se hallan sus errores y faltas.

Zenón no causó sólo perplejidad con sus aporías, sino también incomodidad, la intranquilidad de comprobar que, de estar en lo cierto, no existía ninguna posibilidad de investigar el mundo natural dentro del ámbito de la verdad, sino sólo en el de la opinión. Ante esta situación reaccionarían más tarde los pluralistas y atomistas, Empédocles, Anaxágoras y Demócrito.

*(En casi cualquier texto de filosofía que contenga el periodo presocrático se habla, con mayor o menor profundidad, de las paradojas de Zenón. Para un análisis más completo y exhaustivo del que hacemos aquí, puede servir el magnífico estudio de J. Barnes, en su obra "Los Presocráticos", pág. 312-350, Cátedra, Madrid, 2000).

7 comentarios:

Crónicas Urbanas dijo...

Hola:

He publicado un post sobre paradojas.
Es un tanto más simple, o rebajado, que este tuyo, el cual me resultó muy interesante.

Me ha gustado mucho. Te sigo.
Saludos.

Martín Berrueta dijo...

me ha servido mucho este articulo, gracias amigo!!!

yeison fabian Pizarro dijo...

Me encantó. Con esto enseñaré algo de matemáticas...

yeison fabian Pizarro dijo...

Me encantó. Con esto enseñaré algo de matemáticas...

Graciela Díaz dijo...

Muy bueno el resumen, bien explicado. Gracias

Graciela Díaz dijo...

Muy bueno el resumen, bien explicado. Gracias

Anónimo dijo...

Cuales son las consecuencias tuvieron las paradojas con el pensamiento pitagorico?